50. Разрезанное число

Василий на бумажке в виде полоски написал число, кратное d. Его младший брат Дмитрий разрезал число на k частей. Василий решил восстановить написанное число, но столкнулся с проблемой. Он помнил только число d, а чисел, кратных d, можно сложить несколько.

   Сколько чисел, кратных числу d, может составить Василий, если составляя исходное число, он использует все части.

Скачать

49. Кот учёный

"У Лукоморья дуб зеленый,
Златая цепь на дубе том,
И днем и ночью кот ученыйВсе ходит по цепи кругом..."

   Уезжая из дома, поэт оставлял коту, прикованному к дубу цепью длиной L, N рыбин. Зная координаты головы и хвоста каждой из них, подсчитайте, на какие сутки у кота визникнет чувство голода, если оно возникает тогда, когда за сутки он съест меньше, чем K рыбин. Рыбину он может съесть, если сможет дотянуться хотя бы к одной её точке. Координаты дуба (0, 0).

Скачать

47. Паркет из треугольников

Прямоугольную комнату размерами M на N (сначала по горизонтали, а потом по вертикали) замостили треугольными плитками и их пронумеровали, как показано на рисунке.

   За один шаг можно переместиться с одной паркетины на другую только через общую сторону. Найти наименьшее количество шагов, нужных для перемещения с паркетины A на паркетину B.

Скачать

46. Отрезки

   Разрежьте отрезок длинной L на наибольшее количество частей, длины которых - натуральные числа, чтоб из них не возможно было сложить ни одного треугольника.

Скачать

44. Единицы

 В арифметическом выражении разрешается использовать число 1, операции сложения, умножения и скобки. Какое наименьшее количество единиц нужно использовать, чтобы получить заданное натуральное число n?
Скачать

43. Количество участников олимпиады

 Как известно, на вопрос о том, сколько у него учеников, древнегреческий учёный Пифагор отвечал так: "Половина моих учеников изучает математику, четвертая часть изучает природу, седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении, остальную часть составляют 3 девы".

   Секретарь олимпиады на вопрос: "Сколько зарегистрировано участников олимпиады по информатике?", отвечал подобно Пифагору: "K-тая часть участников начала решать первую задачу, M-тая часть – вторую, а N-тая – третью. В то же время D участников решают проблему: "С чего начать?". Ваша задача определить количество участников олимпиады S или вывести -1, если секретарь ошибся.

41. Команда мэра

Для обеспечения победы на выборах, мэр решил создать команду из своих знакомых, в которой каждый есть другом каждого из остальных. Зная взаимоотношения между собой всех N знакомых мэра, создайте команду наибольшей численности M. При существовании нескольких решений достаточно вывести только одно из них.
Скачать

39. Деньги спонсора

После 2-х турниров, на которые спонсор потратил по S гривен на каждый, новый спонсор сказал: "Я выделю больше, чем два предыдущих вместе". Такие же слова далее говорил и каждый следующий спонсор.

   Зная сумму S, которую выделил первый спонсор, номер очередного турнира N и сумму, имеющуюся на счету в банке у спонсора B, определите, какая наибольшая сумма может остаться на счету у спонсора, или какую ему придется брать ссуду для оплаты призовых.

Скачать

36. Змей Горыныч

В некотором царстве жил Змей Горыныч. У него было Nголов и M хвостов. Иван-царевич решил уничтожить губителя человеческих душ, для чего ему его кума Баба Яга подарила волшебный меч, так как только им можно убить Змея Горыныча. Если отрубить одну голову, то на её месте вырастает новая, если отрубить хвост, то вместо него вырастет 2 хвоста. Если отрубить два хвоста, то вырастает1 голова, и только когда отрубить 2 головы, то не вырастет ничего. Змей Горыныч гибнет только в том случае, когда ему отрубить все головы и все хвосты. Определить минимальное количество ударов мечом, нужное для уничтожения Змея Горыныча.

Скачать

35. Спичечные треугольники

Профессор Самоделкин, известный Вам по задаче "Спичечная модель", решил вновь проявить свои умственные способности. Он начал складывать треугольники со спичек.

   Какое минимальное количество спичек необходимо Самоделкину, чтобы выложить N треугольников, у которых каждая сторона одна спичка?

34. Слово спонсора

По завершению турнира "Новогодняя ночь" спонсор решил отправить m призерам подарки по почте. Зная количество участников n и время доставки почты между некоторыми отделениями "Укрпочты", найти, через какое время последний из призеров получит свой приз.

33. Любимые числа Деда Мороза

Дед Мороз любил развлекаться с числами и цифрами. Более всего он любил цифру 1, ведь именно 1.01 начинается Новый Год.

   Шли годы, но он так и остался суеверным - он не любил чисел, у которых после 1 стоит 3, то есть образуется число 13. На Новый Год он решил дать новое задание: посчитать, сколько любимых Дедом Морозом простых чисел есть на промежутке [А, В]?

31. Суеверный Дед Мороз

 Как известно, в разные годы дежурят и развозят подарки разные Деды Морозы. Но все они суеверны - развозят подарки на протяжении всего года, кроме дней, когда на календаре Деда Мороза "Пятница 13".

   Сколько дней Дед Мороз не развозил подарки во время своего дежурства?

29. Уровень палиндромности

Задано натуральное М. Если число не палиндром – записываем его в обратном порядка и слагаем с заданным. Действия повторяем до тех пор, пока не получим число-палиндром. Количество выполненных операций назовем уровнем палиндромности заданного числа.

   Найти уровень палиндромности заданного числа М.

28. Произведение

Петя и Вася готовились к аттестации по теме "Умножение". Петя задумывал произведение всех натуральных чисел от А до В, а Вася старался угадать начальное и конечное числа. Помогите Васе найти значения А и В. Если решений несколько, выведите то, у которого А наименьшее.

27. Циклические сдвиги

 Запишем целое десятичное число N в двоичной системе счисления и образуем все левые циклические сдвиги числаN, у которых первая цифра числа переносится в конец.

   Например, если N = 11, то в двоичной системе это 1011, его циклические сдвиги: 0111, 1110, 1101, 1011. Максимальное значение М у всех полученных таким образом чисел будет иметь число 1110₂ = 14₁₀.

   Для заданного числа N определить максимальное значение М.

23. Новогодняя елка

Для украшения елки Петя имеет гирлянду из N ламп и K разных красок для их раскраски. Сколькими способами он может это сделать, если никакие 2 одинаковые цвета не должны быть рядом?

22. "Зеркально простые" числа

Назовем число "зеркально простым", если само число является простым, и простым является число, записанное теми же цифрами в обратном порядке.

   Для чисел от A до B найти количество "зеркально простых" чисел.

20. Сколько можно?

Задано натуральное число N. От данного числа вычтем сумму цифр этого числа, от полученного числа опять вычтем сумму цифр и т.д. Данную операцию будем продолжать до тех пор, пока полученное число положительно. Сколько раз будем выполнять данную операцию?

19. Степень симметрии

Степенью симметрии натурального числа назовём количество пар его десятичных цифр, в которых цифры совпадают и расположены симметрично относительно середины десятичной записи этого числа. Если некоторая цифра стоит посередине десятичной записи, её тоже нужно учитывать в паре с ней самой. Найти степень симметрии числа N.